Calcular o melhor preço de venda

Uma indústria de produtos de limpeza calculou pela demanda no mercado e pela sua capacidade de atender a essa procura que a função de sua receita total sobre o principal produto que vende é R(x) = 15x - x² e a função que determina o custo total é C(x) = 3 + 5x em milhares de reais. Sabendo que x é a quantidade, determine qual é o melhor preço de venda para cada unidade.

R(x) = 15x - x² , C(x) = 3 + 5x

Primeiro encontre a fórmula para o Lucro total:
L(x) = (Receita) - (Custo)
L(x) = (15x - x²) - (3 + 5x)
L(x) = -x² + 10x - 3

Então derive a fórmula do Lucro total:
Derivada constante
dx/dyC = 0
dx/dy3 = 0 (custo fixo)

Derivada de potência
dx/dyX^n = n.x^n-1
dx/dyX^2 = 2x^2-1 = 2x
dx/dy10X = 1. 10x^1-1 = 10

L'(x) = -2x + 10

Depois iguale a zero para encontrar a quantidade que maximiza o lucro:
L'(x) = -2x + 10
0 = -2x +10
2x = 10
x = 5

Agora que sabemos qual é a quantidade de produtos que maximiza o lucro, vamos usar a fórmula da receita para encontrar o preço de venda:
R(x) = (Preço) . (Quantidade de produtos)

15x - x² = (Preço) . 5
15.5 - 5² = 5(Preço)
75 - 25 = 5(Preço)

Preço = 50/5
Preço de venda = R$ 10, 00

Estudo Dirigido

Como encontrar o Lucro Máximo

Um fabricante de celulares pode produzir certo tipo de celular a um custo de R$ 20,00 por unidade. Seu público alvo é alto e tem boas condições, porém existe uma concorrência já explorando esse mercado. Numa pesquisa o fabricante descobriu que as pessoas procuravam uma qualidade específica. Estima-se que se o preço de cada celular for x, a estimativa de venda diária será de 500 - x. Sendo L(x) o lucro mensal. Qual será o preço de venda que maximiza o lucro?

L(x) = (quantidade vendida) . (preço de venda - custo)
L(x) = (500 - x) . (x - 20)
L(x) = -x² + 520x - 10000

Igualando L(x) a zero para encontrar os vértices, pois mostrará o menor preço que se pode vender e o maior sem obter prejuízo.
0 = (500 - x) . (x - 20) (pode encontrar pela equação do 2º)
x = 20 e x = 500

Visualizando o Gráfico:
Como encontrar o preço que maximiza o lucro?

Pelo gráfico:
Logo se percebe que ele se encontra no ponto mais alto da parábola. No meio do R$ 20,00 e do R$ 500,00 do preço de venda, exatamente R$ 260,00.

Pela fórmula da derivada:
Na fórmula da derivada os números que representam o mínimo ou o máximo lucro é sempre zero.

derivada constante:

dx/dyC = 0
dx/dy-10000 = 0

derivada de potência:

dx/dyX^n = n.x^n-1
dx/dy-X^2 = -2x^2-1 = -2x
dx/dy520X = 1. 520x^1-1 = 520

Igualamos essa fórmula a zero e encontramos o lucro máximo.
L'(x) = -2x + 520
0 = -2x + 520
2x = 520

x = 260